【云顶娱乐】2015考研数学三真题解析:二重积分的计算

云顶娱乐 12015考研数三真题选择题第3题

  整理完以后,再去做第二步,把最近十年的30份试卷全部看一遍,也就做了30份试卷,如果有时间的话把之前的考题再拿出来看看。因为你应付15年的考研,你说从14年开始做,那13年之前的题呢,有些题站在今天的角度上来讲有点老土,但是有些题还是挺典型的,因为数学,它跟政治不一样,时效性没有那么强。有些题之前考过的,有部分的题,站到今天来讲,还是很典型的。听过强化班的同学应该知道,我们说中值定理证明题最难的一道应该是哪一年的,应该是1995年的题,这到题拿到今天来做还是有一点点难度,第二小问辅助函数应该怎么构造,这个时候同学又问,我要不要把87年找到的题全部做一遍,我觉得也没有必要。因为有些题站在今天的角度看太简单了,你再去做纯粹浪费时间,所以你可以挑一些典型题,像姜晓千老师的《10年真题分析与演练》。很多老师都有自己的真题,真题是一样的,只是不同老师解答的不一样。我们的真题是十年。按年份,前面把典型题抽出来,这个时间该持续做什么,一个月的时间,特别是对于基础不好的同学。很多同学说现在基础差,问我能不能直接上手,就更要从真题入手,可能你会花掉两个月的时间,但把这个工作做扎实了,我告诉你,你就已经进步上来,这个时候你就会心里更有数,有底。根据三门课,每门课看自己哪里不太了解,再找到手上的课外辅导书,估计每个同学手上至少有一本,先做书上的题,因为题是为你服务的。比如中值定理证明我还不太了解,我去做做这些题,我了解了,就可以把这个题过了。而且你会发现有很多题,比如定积分,好像课外书打开都是厚厚一大堆题,你看完以后,真题从来没有那么考过,是不是在接下来的时间里面我可以高效一点准备,我没有必要全做完。现在已经什么年代的,什么书都要从头到尾做一遍?尤其是很多给你从第一题写到一千道、一万道,是为了凑题数,给你额外补充很多与考研不相关的题进去,所以不用被这种题影响自己的心情。

  来源:文都教育 

  像数三的考题,我们可以拿出来点评一下高数部分,像选择题,他问你下列奇数发散的是,这个奇数发散你AD选项都用判别法的,但是我们是不需要用判别法的,这个B选项一开始看出来是对的,你用等价替换公式,所以就是这个C选项,这个C选项你把通线分解出来,这是课上给你讲出来的。举反例你要记住XlnX分之一,这个是发散的,如果你平时记过这个结论一看就知道它是发散的,当n是无穷大的时候,我们说lnn比n小,当n无穷大的时候,lnn分之一就比n分之一更大,有比较判别法可知他发散,你小的都发散了大的是不发散,所以就选C。

  二重积分的熟练计算建立在定积分的基本计算的基础上,所以大前提要牢固掌握定积分的基本性质和常规计算。

  海天考研数学名师杨超给各位一个建议是做完真题要达到怎样的效果:一,你要把每一份试卷里面,出题者精心安排的题,因为每份试卷里面总有很多送分题,能理解这个意思吧。比如年年会考一道,像数二、数三考到用一元函数求导,像这种题,做完以后,也可以用笔划掉,一份试卷上有几个大题,几个小题,对你来讲还是很有灵活性的。甚至说整套试卷都是命题者精心安排过的,你要把这种题抽出来。去年2014年数学考的第四道题,这个题就比较新颖,这道题表面上很多同学看都看不懂,最后求一个什么,表面看求什么定积分,实际上跟定积分一点关系没有。这道题背后考了什么,傅里叶级数的原理。看我们之前的考题,都是很单纯考,这道题改变了一下,能否反应出来。去年一道统考的题,我们所有同学考的一样的,就是数一试卷上的第二道题,数三第三道选择题,这个也比较灵活。像这样的选择题,自己翻开试卷上看看,它就有点灵活性。当然后面还有填空题,还有大题,你要把每份试卷上这个题重新放到笔记本上去,对这些题进行整理。

  一、2016考研高等数学大[微博]纲“多元函数积分学”(数一考生)

  同学们大家好,首先祝贺各位,经过辛辛苦苦的复习终于今天考完了,接下来老师来对2015年的考研[微博]数学试卷做个点评。首先是这样的,看到这个试卷自己还是比较激动的,为什么呢?我们首先看我现在手上有数二数三的考题,数二数三线代概率题这个是比较简单,这个但凡有点基础的话后面四个大题都可以完成,可能刚才老师在这里做了点评。像整个数三的大题,像15题,15题问你两个函数为等价无穷小,我敢肯定这个题都烂掉了,你只要背ln(1+X),sinX这两个泰勒公式就搞定了。16题,16题考的是定积分的几何意义,就问了你一个sinX这个函数,这个题之前真题就考过,我们在考研数学24堂课上后面真题选题就有这个题,这个题要背公式,你只要记住绕X和Y旋转公式,把那公式背出来就可以把X值求出来,这个题应该是数二的考题。

  来源:文都教育

  我们今天利用这个机会,给各位一个建议,也是这个阶段绝大部分学生比较关心的,接下来该如何复习,怎么充分利用接下来的时间提高自己复习的效率。因为你到九月份,现在九月中旬,无论是怎样的水平,总该对考研[微博]数学有个比较宏观的了解。因为不同同学的基础不一样,付出的时间也是不一样的。对于广大的考生,因为我知道现在可能有部分同学到这个时候显得比较着急,现在可能对自己考过120分还没有信心,首先给这样的同学一个建议,怎么在接下来利用短暂的时间提高到120分。是这样的,数学考纲上用了五个不同词形容我们每一个知识点,分别用了掌握、理解、了解、会求、会用,如果从一个学生较角度来讲,你并不要被这五个词的表面意思影响你。

  1、考试内容

  其他题都很传统,所以我觉得没有什么必要再来给你部点评了,当然作为你来讲,你考试考完了,对不对?你也不用着急对答案,所以你接下来可以好好享受,可以稍微放松一下,当然很多同学要马上参加学校的期末考试,如果你是来年再考的,还是那句老话早点准备,数学这门课需要早点准备的,听到没有,像这样的题其实就是从每道题开始,有哪种题,就是除了今年数二考到了英语题不是平时课上讲到的,把每次课上讲的内容搞懂,数学考一个不错的分数是完完全全可以实现的,不要因为现在很多同学老怕数学这门课就逃避它,省得考装数。看到这个题是有点兴奋的,所以我也不想给你做过多的点评,像他概率的填空题,因为最后讲了个点睛班,最后在五个城市讲了押题班,我特意给你讲了关于二维的连续性随即变,我说你要懂得看,如何他的灵活概率密度是对称的话,如何利用对称性去巧解很多题,像这道题填空题如果听过那次课,马上发现这个是二分之一不用算的,如果一步一步按照概率本身去计算挺费劲的,这个题算起来是需要过程,其实不需要过程,你只要概率密度,连续性的概率密度,你在整个平面上积分等于1,所以那道题是整个联合概率弥补这条直线是对称的,所以那个题的答案就等于二分之一,所以如果你懂这个道理,或者最后听了押题班的课,你连概率填空题数三的同学稍微有点灵活性可以做的很快。

  二重积分的计算是近几年考研[微博]数学大[微博]题的重要考点,主要考查的是二重积分的极坐标变换和利用对称性计算等问题。今年的考题果然不出所料,所有的考题都集中在这两个知识点上,一共考了14分。下面老师对今年数三的二重积分考题进行细致的分析。

  这样的点来源于什么,好像你知道它的考点在哪里,因为它背后的考法可以考的很灵活,有一道选择题,频率比较高的,就是定积分比较大小,虽然说起来很简单,函数小,积分就小,你知道它考这句话,但是变成题目来讲是挺灵活的,因为你如何判定这两个函数大与小,所以这样的问题至少可以做到心中有数。先去做真题,做完真题以后,海天考研数学名师杨超给各位一个建议,你要做别的试卷类型的真题。数一要看看数三题,数三看看数一题,共同考的部分要去看。比如说关于一个有界性的考查,关于函数有界性的考查,怎么考法,可以联系拉格朗日的定理,其实05年考的题来源于02年的题,02年数三就这么考,过了几年以后变成到数一考题。可见不同试卷类型的真题可以重复考,所以一定要再做别的试卷类型的题。其实每个老师都会强调真题,每个同学也知道做真题的重要性。

  (1)了解二重积分的概念与基本性质;(2)掌握二重积分的计算方法(直角坐标。极坐标);(3)了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算。

  19题,19题涉及到导数定义,先求出来导数,导数定义背出来以后,这道题有点跟我们2008年那年考变性积分函数求导,这个书上定义是这样的,你把导数定义背出来以后,你怎么充分求导数定义,我们需要干什么,你只需要在分子减一下再加一下,我敢保证这样的题平时练的已经太多了,为什么?因为平时在求急性的时候,说题中法则用不了都需要借用导数定义,都需要减一下加一下。

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  来源:海天教育 杨超

  3、常考题型

  我们说二重积分等于什么?说要知道对称性去化解,我们在一百题里面讲对称性,我们跟同学讲到怎样的题?讲了75页的49题对不对,但是这道题你还记得我讲课的情景吗,我还给你铺垫了,说为什么这个题放在这里,说这个题在积分区又不惯于X对称又不惯于Y对称,所以表面上积分区没有对称性我要懂得创造对称性,这道题根本不用创造,所以正好积分是什么?不用算的,你只要计算前面的X平方就可以搞定了。

云顶娱乐 32015考研数三真题选择题第16题

  那你说怎么把握方向,作为一个学生来讲,真题就是你最好的材料。所以,海天考研建议:从这个时候,无论基础好与不好,都要从真题开始做:基础不好的按照章节做,基础好的按照年份做,花一个时间做真题,先花两个星期时间去做最近十年的,按照年份来做,或者按照章节来做,必须要做到什么,两个星期时间把最近十年考过的题做完。做完以后,就发现每一章的知识点,它的考点,每年重点在哪里,就做到心中有数。所以你要做到这样一点。比如给你提多元函数微分学,你会发现每年考卷大概考多少分,他考一个大题,一个小题,有时候考18分。现在你要知道比如提到多元函数微分学,大题、小题怎么考法。比如这个章节有一个非常重要的概念,有一个概念叫什么,叫全微分的概念,于是问自己,关于全微分的概念,你心里是不是有底,怎么判定一个二元函数在某点可微。在数学中说基本概念,基本原理,基本计算,这是概念问题,然后这里牵扯到计算,就是求抽象多元函数,而且这样还是一个复合函数,求它的高阶偏导数,以及还有一种隐函数求导,你对这个基本计算会不会,这个既可以考小题,又可以考大题。然后这里,我们多元函数微分学还有一个应用,应用在课上强调的,三道题,无条件极值,条件极值,必须的最值,这跟你复习政治是这样的,就是你先有一个宏观,有一个清楚的结构,知道每一个点。通过十年真题一做,你发现原来每个点大概怎么考,如果发现会了,你就不用担心。或者真复习到某一章不会,我可以做出战略上的放弃,明确这个点对我来讲挺难的,因为我觉得我没有那么多时间复习,我是可以放弃掉的。

  (1)二重积分的定义与基本性质;(2)改变积分次序;(3)直角坐标系、极坐标系下计算二重积分;(4)二重积分的相关证明;(5)直角坐标系、柱坐标、球坐标系计算三重积分;(6)两类曲线积分的关系与计算;(7)格林公式;(8)两类曲面积分的关系与计算;(9)高斯公式;(10)斯托克斯公式

 

  注意:该题利用了二重积分的对称性来简化计算,主要的计算量集中在求定义上。同学们在平时的复习过程中,一定要重点掌握以下的对称性质:

  第一个可以顾名思义去理解,望文生义去理解。因为你表面看起来,我们发现“掌握”肯定比“了解”的要求更深;需要你“理解”的,肯定比“了解”的要求更深。但是它也并不完全是这样的,我给你举一个具体的知识点。关于考数二的,关于一元函数积分学,它的要求明确写第五点:要求考生了解反常积分的概念,并且会计算反常积分。去年14年的考题,第一道题考了个无穷区域的广义积分计算,这是基础题,他说要求你会计算。前面反常积分的概念说了解,这个就不应该叫了解,为什么?因为我记得很清楚,在11年公布的考试大纲里面,但是2010年的考研题上出了一道选择题,关于广义积分的选择题,这道题很有难度,要求考生了解。包括后面我们从积分里面,多元函数微积分学,我们关于二重积分的概念上考纲永远这么写——了解二重积分的概念。有一年考了二重积分的定义,那就不应该叫了解。有很多同学买一本考试大纲,或者网上下载,你要看的话不要被这几个词迷惑你,还是按照课上讲过的,每一讲考点有哪些,重点是哪里,难点在哪里。所以你这个时候先去抓主要的,在这个月的时间,从现在开始到10月中旬,给各位一个很好的建议,你现在应该练真题,你不要被某本课外书驾驭住你。所有的书应该为你服务,你不应该被某本书所框住。很多同学说听人家讲,听师哥、师姐讲,我每年见过的是不是比你更多,从今年7月9号福州第一站讲到了中秋节,在山东的威海结束,年年要讲这么多城市,我见的师哥、师姐比你更多。你千万不要被某本书所驾住你,很多同学说要把某本书做完三遍才可以考研,可以这样做,问题是这样做效率不是最高的。因为也许你选择那本书,也许目前考研最后出来的题,并不是完全吻合,也许你会付出很多额外的努力。

  (1)二重积分的定义与基本性质;(2)改变积分次序;(3)计算二重积分(直角坐标系和极坐标系);(4)二重积分的证明

  而19题给了个变线积分函数的零点个数,这个题在题库里面有的,这道题比较简单,所以我们就把19题在一百题后面换成了哪道题?换成了我们53页的35题,你自己可以翻开看看,这道题比这道考题难很多了,所以在整个数二的考题里面我们有七道高数题,哪道题没给你讲过?我敢保证所有的老师给你考到,我们今年数二考到微分方程应用题,这个是叫牛顿冷却定理,利用这样的背景考了这道应用题,这个背景后面就是一个什么?就是线性分齐次的微分方程,可能对一般同学来讲可能就这道题不会,因为你平时没有重点强调过可能这道题不会做,但其他的都很强调的很到位,对吧?他现在每次强调什么?基本概念基本原理基本方法,能理解吧?这里你看数二的第一道选项题,这个你只要听过课眼睛一看就知道选什么,选D选项,为什么?D选项肯定收敛,无论你用的是讲义还是用考研数学难点一点通,我让你各位背过四个,其中有一个被积函数就是X×lnx的p次幂分之一的这样,我们说单P大于收敛,P小等于发散。你去看看我昨天晚上微博上发出来的让你把这个题背一下,那里都有λ函数,这题考到第三小题,这道题估计绝大多数都做过,就是关于这样的函数,这样的被简单数,以前冲刺班只要把这个结论给你讲出来了,因为他90年代考,所以今年反而就今年这里没有讲,当然我敢保证绝大部分同学会做,因为这道题问你函数在零点,关于这个函数有几问,就问你αβ取什么的,这个导函数在零点连续,所以你要在考场上推理一下。

  二重积分的概念。基本性质和计算   无界区域上简单的反常二重积分

  其他话不讲了,考都考完了,老师还是祝福各位,希望你好运。如果是2016年的考生希望你以后来听听我们整个团队的课,好了,我们就讲到这里。(来源:海天教育)

云顶娱乐,  多元函数积分学,数一、数二、数三区别比较大,数二、数三只要求掌握二重积分,数一学员要求掌握二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。我们分开介绍。

  数三这几年年年考到经济学的应用,同学们自己看17题经济学的应用,我们在这一百题里面给你怎么讲过的,这一百题里面我们放了四道经济学的应用,我们讲了四道题里面肯定有两道,这个题就是我们一百题里面的59题,这后面注点评公式还在这里面呢,自己翻着看看。

  (1)二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用;(2)两类曲线积分的概念、性质及计算;(3)两类曲线积分的关系;(4)格林(Green)公式;(5)平面曲线积分与路径无关的条件;(6)二元函数全微分的原函数;(7)两类曲面积分的概念、性质及计算;(8)两类曲面积分的关系;(9)高斯(Gauss)公式;(10)斯托克斯(Stokes)公式;(11)散度、旋度的概念及计算
;(12)曲线积分和曲面积分的应用

  以上是老师针对多元函数积分学这一模块,围绕大纲考点、常考题型进行的梳理分析,希望考生对这部分内容要熟练掌握。

  • 新浪教育考研栏目征稿启示
  • 2015年考研国家线已公布
  • 34校2015考研复试线已公布
  • 2015全国各地高校调剂信息平台
  • 2015高校考研调剂信息发布方式
  • 2015年考研考生发布调剂意向区

  在研究生入学考试中,高等数学是数一、数二、数三考试的公共内容。数一、数三均占56%(总分150分),考察4个选择题(每题4分,共16分)、4个填空题(每题4分,共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论,高数占78%,考察6个选择题(每题4分,共24分)、4个填空题(每题5分,共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所占比例易知,高数是考研[微博]数学的重头戏,因此一直流传着“得高数者得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷级数等六个模块,在梳理分析函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学的基础上,继续梳理多元函数积分学,希望对学员有所帮助。

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  (1)理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理;(2)掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标);(3)理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系;(4)掌握计算两类曲线积分的方法;(5)掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数;(6)了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,掌握用高斯公式计算曲面积分的方法,并会用斯托克斯公式计算曲线积分;(7)了解散度与旋度的概念,并会计算;(8)会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、、形心、转动惯量、引力、功及流量等)。

  3、常考题型

  二、2016考研高等数学大纲“多元函数积分学”(数二、数三考生)

  1、考试内容

  2、考试要求

  2、考试要求

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